Контрольная Работа по Теме Векторы 9 Класс


Векторы. Решение задач
Май 1, 2015 – 06:33
Контрольная работа для 9

Коллинеарные векторыВ окружающем мире мы встречаемся с такими величинами, для которых важен не только размер, но и направление. Такими величинами являются, например, сила и скорость. В математике такие величины описываются векторами.

Вектор – направленный отрезок.

Рис. 1. Вектор

Вектор (рис. 1).

Коллинеарными векторами называются такие векторы, которые лежат на параллельных прямых либо на одной прямой. (рис. 2).

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Можно ввести такое число , при котором (рис. 3). То есть умножением вектора на какое-либо число , можно растянуть или сжать вектор.

Рис. 3. Умножение вектора на число

Если векторы коллинеарные и сонаправленные и их длины равны, то такие векторы называются равные: .

Рассмотрим сложение векторов.

1. Правило параллелограмма (рис. 4).

Рис. 4. Сложение векторов

2. Правило треугольника (рис. 5).

Рис. 5. Сложение векторов

Рассмотрим векторы на плоскости. Для этого нам необходима пара неколлинеарных векторов.

Теорема: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. То есть существует единственная пара чисел x и y, при которой (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим векторы в пространстве. Для этого необходимо выбрать три некомпланарных вектора (.

Теорема: в пространстве любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются однозначно: . То есть вектор однозначно разлагается по векторам , , с помощью чисел x, y, z (эта тройка чисел однозначная).

Объясним эту теорему (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к объяснению теоремы

Проведём , получим точку пересечения с плоскостью . Следовательно, , но, по правилу параллелограмма, , а так как вектор, то . Поэтому .

M – точка пересечения медиан в треугольнике ABC. Точка – произвольная точка. Доказать, что .

Дано: M – точка пересечения медиан (рис. 8).

Доказать: .

Доказательство (1 способ)

Выразим OM через векторы:

Складываем эти три соотношения: .

Рис. 8. Иллюстрация к задаче №1

Докажем, что . По свойству, точка пересечения медиан треугольника рассекает каждую медиану в отношении , считая от вершины. То есть ; ; Продлим медиану и отложим отрезок (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче №1

Получили четырёхугольник MBDC. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, MBDC – параллелограмм. Поэтому .

Source: interneturok.ru
Вас может заинтересовать
УРОК ПО С\С++ РАЗДЕЛ STL [ТЕМА КЛАСС VECTOR]
УРОК ПО С\С++ РАЗДЕЛ STL [ТЕМА КЛАСС VECTOR]
Урок по алгебре, 8 класс Тема Неполные квадратные уравнения
Урок по алгебре, 8 класс Тема Неполные квадратные уравнения
Похожие публикации